Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.7
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.8
3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .
Рис.9
4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).
Рис.10
Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:
где L - длина дуги АВ , равная .
Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном
где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .
Рис.11
Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 и А 3:
x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:
x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .
3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .
Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:
Рис.12
Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:
С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .
Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .
Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.
Рис.13
Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их:
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).
Рис.14
Координаты центров тяжести:
Площади:
|
Рис.15
В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:
координата 
так как тело имеет ось симметрии (диагональ).
Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .
Рис.16
Координаты центров тяжести участков:
Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:
Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).
Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.
Рис.17
Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.
Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:
где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.
Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.
Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.
Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.
Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:
x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Вопросы для самопроверки
Что называется центром параллельных сил?
Как определяются координаты центра параллельных сил?
Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?
Каким свойством обладает центр параллельных сил?
По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?
Что называется центром тяжести тела?
Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?
Что называют статическим моментом площади?
Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.
Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
В чем состоит сущность способа отрицательных весов?
Где расположен центр тяжести дуги окружности?
Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.
Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.
По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?
Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?
Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?
Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?
Перед тем, как найти центр тяжести простых фигур, таких которые обладают прямоугольной, круглой, шарообразной или цилиндрической, а также квадратной формой, необходимо знать, в какой точке находится центр симметрии конкретной фигуру. Поскольку в данных случаях, центр тяжести будет совпадать с центром симметрии.
Центр тяжести однородного стержня располагается в его геометрическом центре. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Центр тяжести неоднородных тел
Чтобы найти координаты центра тяжести, как и сам центр тяжести неоднородного тела, необходимо разобраться, на каком отрезке данного тела располагается точка, в которой пересекаются все силы тяжести, действующие на фигуру, если ее переворачивать. На практике для нахождения такой точки подвешивают тело на нить, постепенно меняя точки прикрепления нити к телу. В том случае, когда тело находится в равновесии, то центр тяжести тела будет лежать на линии, которая совпадает с линией нити. В противном случае сила тяжести приводит тело в движение.
Возьмите карандаш и линейку, начертите вертикальные прямые, которые визуально будут совпадать с нитевыми направлениями (нити, закрепляемые в различных точках тела). Если форма тела достаточно сложная, то проведите несколько линий, которые будут пересекаться в одной точке. Она и станет центром тяжести для тела, над которым вы производили опыт.
Центр тяжести треугольника
Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника.
Если перед вами стоит задача, касающаяся того, как найти центр тяжести тела в форме равностороннего треугольника, то необходимо из каждой вершины провести высоту с помощью прямоугольной линейки. Центр тяжести в равностороннем треугольнике будет находиться на пересечении высот, медиан и биссектрис, поскольку одни и те же отрезки одновременно являются высотами, медианами и биссектрисами.
Координаты центра тяжести треугольника
Перед тем, как найти центр тяжести треугольника и его координаты, рассмотрим подробнее саму фигуру. Это однородная треугольная пластина, с вершинами А, В, С и соответственно, координатами: для вершины А - x1 и y1; для вершины В - x2 и y2; для вершины С - x3 и y3. При нахождении координат центра тяжести мы не будем учитывать толщину треугольной пластины. На рисунке ясно видно, что центр тяжести треугольника обозначен буквой Е – для его нахождения мы провели три медианы, на пересечении которых и поставили точку Е. Она имеет свои координаты: xE и yE.
Один конец медианы, проведенной из вершины А к отрезку В, обладает координатами x 1 , y 1 , (это точка А), а вторые координаты медианы получаем, исходя из того, что точка D (второй конец медианы) стоит посередине отрезка BC. Концы данного отрезка обладают известными нам координатами: B(x 2 , y 2) и C(x 3 , y 3). Координаты точки D обозначаем xD и yD . Исходя из следующих формул:
х=(Х1+Х2)/2; у=(У1+У2)/2
Определяем координаты середины отрезка. Получим следующий результат:
хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;
D *((Х2+Х3)/2 , (У2+У3)/2).
Мы знаем, какие координаты характерны для концов отрезка АД. Также нам известны координаты точки Е, то есть, центра тяжести треугольной пластины. Также мы знаем, что центр тяжести расположен посередине отрезка АД. Теперь, применяя формулы и известные нам данные, мы можем найти координаты центра тяжести.
Таким образом, можно найти координаты центра тяжести треугольника, вернее, координаты центра тяжести треугольной пластины, учитывая то, что ее толщина нам неизвестна. Они равны среднему арифметическому однородных координат вершин треугольной пластины.
Цель работы – определить центр тяжести сложной фигуры аналитическим и опытным путями.
Теоретическое обоснование. Материальные тела состоят из элементарных частиц, положение которых в пространстве определяется их координатами. Силы притяжения каждой частицы к Земле можно считать системой параллельных сил, равнодействующая этих сил называется силой тяжести тела или весом тела. Центр тяжести тела – это точка приложения силы тяжести.
Центр тяжести – это геометрическая точка, которая может быть расположена и вне тела (например, диск с отверстием, полый шар и т.п.). Большое практическое значение имеет определение центра тяжести тонких плоских однородных пластин. Их толщиной обычно можно пренебречь и считать, что центр тяжести расположен в плоскости. Если координатную плоскость xOy совместить с плоскостью фигуры, то положение центра тяжести определяется двумя координатами:
где - площадь части фигуры, ();
– координаты центра тяжести частей фигуры, мм (см).
| Сечение фигуры | А, мм 2 | X c ,мм | Y c , мм |
 | bh | b/2 | h/2 |
 | bh/2 | b/3 | h/3 |
 | R 2 a | ||
| При 2α = π πR 2 /2 |
Порядок проведения работы .
Начертить фигуру сложной формы, состоящую из 3-4 простых фигур (прямоугольник, треугольник, круг и т.п.) в масштабе 1:1 и проставить ее размеры.
Провести оси координат так, чтобы они охватывали всю фигуру, разбить сложную фигуру на простые части, определить площадь и координаты центра тяжести каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат.
Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитически. Вырезать данную фигуру из тонкого картона или фанеры. Просверлить два отверстия, края отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для подвешивания фигуры.
Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в другой точке. Центр тяжести фигуры, найденный опытным путем, должны совпадать.
Определить координаты центра тяжести тонкой однородной пластины аналитически. Проверку произвести опытным путем
Алгоритм решения
1. Аналитический способ.
а) Чертеж вычертить в масштабе 1:1.
б) Сложную фигуру разбить на простые
в) Выбрать и провести оси координат (если фигура симметричная, то – по оси симметрии, в противном случае – по контору фигуры)
г) Вычислить площадь простых фигур и всей фигуры
д) Отметить положение центра тяжести каждой простой фигуры на чертеже
е) Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры
(по оси x и y)
ж) Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формуле
з) Отметить положение центра тяжести на чертеже С (
2. Опытное определение.
Правильность решения задачи проверить опытным путем. Вырезать данную фигуру из тонкого картона или фанеры. Просверлить три отверстия, края отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для подвешивания фигуры.
Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в других точках. Значение координат центра тяжести фигуры, найденных при подвешивании фигуры в двух точках: . Центр тяжести фигуры, найденный опытным путем, должны совпадать.
3.Заключение о положении центра тяжести при аналитическом и опытном определении.
Задание
Определить центр тяжести плоского сечения аналитическим и опытным путем.
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
Пример выполнения
Задача
Определить координаты центра тяжести тонкой однородной пластины.
I Аналитический способ
1. Чертеж вычерчивается в масштабе (размеры обычно даны в мм)
2. Сложную фигуру разбиваем на простые.
1- Прямоугольник
2- Треугольник (прямоугольник)
3- Площадь полуокружности (ее нет, знак минус).
Находим положение центра тяжести простых фигур точек , и
3. Проводим оси координат как удобно и отмечаем начало координат т. О.
4. Вычисляем площади простых фигур и площадь всей фигуры. [размер в см]
(3. нет, знак -).
Площадь всей фигуры
5. Находим координату ц.т. , и на чертеже.
6. Вычисляем координаты точек C 1 , C 2 и C 3
7. Вычисляем координаты точки C
8. На чертеже отмечаем точку
II Опытным путем
Координаты центра тяжести опытным путем .
Контрольные вопросы.
1. Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему параллельных сил?
2. Может ли располагаться центр тяжести все самого тела?
3. В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?
4. Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур?
5. Как следует рационально производить разбиение фигуры сложной формы на простые фигуры при определении центра тяжести всей фигуры?
6. Какой знак имеет площадь отверстий в формуле для определения центра тяжести?
7. На пересечении каких линий треугольника находится его центр тяжести?
8. Если фигуру трудно разбить на небольшое число простых фигур, какой способ определения центра тяжести может дать наиболее быстрый ответ?
Практическая работа №6
«Решение задач комплексного характера»
Цель работы: уметь решать задачи комплексного характера (кинематика, динамика)
Теоретическое обоснование: Скорость есть кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения. Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени. При задании движения точки уравнениями проекции скорости на оси декартовых координат равны:
Модуль скорости точки определяется по формуле
Направление скорости определяется направляющими косинусами:
Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени:
При задании движения точки уравнения проекции ускорения на координатные оси равны:
Модуль ускорения:
Модуль полного ускорения
Модуль касательного ускорения определяется по формуле
Модуль нормального ускорения определяется по формуле
где – радиус кривизны траектории в данной точке.
Направление ускорения определяется направляющими косинусами
Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
Угловая скорость тела:
Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой . Зависимость между и имеет вид
Угловое ускорение тела:
Сила, равная произведению массы данной точке на ее ускорение и направление в сторону прямопротивоположную ускорению точки, называется силой инерции.
Мощностью называется работа, выполненная силой в единицу времени
Основное уравнение динамики для вращательного движения
– момент инерции тела относительно оси вращения, есть сумма произведений масс материальных точек на квадрат расстояний их до этой оси
Задание
Тело массой m с помощью троса, наматываемого на барабан диаметром d, перемещается вверх или вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Уравнение движения тела S=f(t), уравнение вращения барабана , где S в метрах; φ - в радианах; t – в секундах. P и ω - соответственно мощность и угловая скорость на валу барабана в момент конца разгона или начала торможения. Время t 1 – время разгона (из состояния покоя до заданной скорости) или торможения (от заданной скорости до остановки). Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью –f. Потерями на трение на барабане, а также массой барабана пренебречь. При решении задач принять g=10 м/с 2
| № вар | α, град | Закон движения | Напр движ | m, кг | t 1 , c | d, м | P, кВт | , рад/с | f | Опред. величины |
| S=0,8t 2 | Вниз | - | - | 0,20 | 4,0 | 0,20 | m,t 1 | |||
| φ=4t 2 | Вниз | 1,0 | 0,30 | - | - | 0,16 | P,ω | |||
| S=1,5t-t 2 | вверх | - | - | - | 4,5 | 0,20 | m, d | |||
| ω=15t-15t 2 | вверх | - | - | 0,20 | 3,0 | - | 0,14 | m,ω | ||
| S=0,5t 2 | Вниз | - | - | 1,76 | 0,20 | d,t 1 | ||||
| S=1,5t 2 | Вниз | - | 0,6 | 0,24 | 9,9 | - | 0,10 | m,ω | ||
| S=0,9t 2 | Вниз | - | 0,18 | - | 0,20 | P, t 1 | ||||
| φ=10t 2 | Вниз | - | 0,20 | 1,92 | - | 0,20 | P, t 1 | |||
| S=t-1,25t 2 | вверх | - | - | - | 0,25 | P,d | ||||
| φ=8t-20t 2 | вверх | - | 0,20 | - | - | 0,14 | P, ω |
Пример выполнения
Задача 1 (рисунок 1).
Решение 1. Прямолинейное движение (рисунок 1, а). Точка, двигавшаяся равномерно, в некоторый момент времени получила новый закон движения , и через некоторый промежуток времени остановилась. Определить все кинематические характеристики движения точки для двух случаев; а) движение по прямолинейной траектории; б) движение по криволинейной траектории постоянного радиуса кривизны r=100см
Рисунок 1 (а).
Закон изменения скорости точки
Начальную скорость точки найдем из условия:
Время торможения до остановки найдем из условия:
при , отсюда .
Закон движения точки в период равномерного движения
Расстояние, пройденное точкой по траектории за период торможения,
Закон изменения касательного ускорения точки
откуда следует, что в период торможения точка двигалась равнозамедленно, так как касательное ускорение отрицательно и по значению постоянно.
Нормальное ускорение точки на прямолинейной траектории движения равно нулю, т.е. .
Решение 2. Криволинейное движение (рисунок 1, б).
Рисунок 1 (б)
В этом случае по сравнению со случаем прямолинейного движения остаются без изменения все кинематические характеристики, за исключением нормального ускорения.
Закон изменения нормального ускорения точки
Нормальное ускорение точки в начальный момент торможения
Принятая на чертеже нумерация положений точки на траектории: 1 – текущее положение точки в равномерном движении до начала торможения; 2 – положение точки в момент начала торможения; 3 – текущее положение точки в период торможения; 4 – конечное положение точки.
Задача 2.
Груз (рис. 2, а) поднимается с помощью барабанной лебедки. Диаметр барабана d=0,3м, а закон его вращения .
Разгон барабана длился до угловой скорости . Определить все кинематические характеристики движения барабана и груза.
Решение . Закон изменения угловой скорости барабана . Начальную угловую скорость найдем из условия: ; следовательно, разгон начался из состояния покоя. Время разгона найдем из условия: . Угол поворота барабана за период разгона .
Закон изменения углового ускорения барабана , отсюда следует, что в период разгона барабан вращался равноускоренно.
Кинематические характеристики груза равны соответствующим характеристикам любой точки тягового троса, а значит, и точки A, лежащей на ободе барабана (рис. 2, б). Как известно, линейные характеристики точки вращающегося тела определяются через его угловые характеристики.
Расстояние, пройденное грузом за период разгона, . Скорость груза в конце разгона .
Ускорение груза .
Закон движения груза .
Расстояние, скорость и ускорение груза можно было определить и иначе, через найденный закон движения груза:
Задача 3.
Груз, перемещавшийся равномерно вверх по наклонной опорной плоскости, в некоторый момент времени получил торможение в соответствии с новым законом движения 
, где s – в метрах и t – в секундах. Масса груза m = 100кг, коэффициент трения скольжения между грузом и плоскостью f=0,25. Определить силу F и мощность на тяговом тросе для двух моментов времени: а) равномерное движение до начала торможения;
б) начальный момент торможения. При расчёте принять g=10 м/ .
Решение. Определяем кинематические характеристики движения груза.
Закон изменения скорости груза
Начальная скорость груза (при t=0)
Ускорение груза
Так как ускорение отрицательно, то движение – замедленное.
1. Равномерное движение груза.
Для определения движущей силы F рассматриваем равновесие груза, на который действует система сходящихся сил: сила на тросе F, сила тяжести груза G=mg, нормальная реакция опорной поверхности N и сила трения , направленная навстречу движению тела. По закону трения, . Выбираем направление координатных осей, как показано на чертеже, и составляем два уравнения равновесия для груза:
Мощность на тросе до начала торможения определим по известной формуле
Где м/с.
2. Замедленное движение груза.
Как известно, при неравномерном поступательном движении тела система действующих на него сил по направлению движения не является уравновешенной. Согласно принципу Даламбера (метод кинетостатики), тело в этом случае можно считать находящимся в условном равновесии, если ко всем действующим на него силам добавить силу инерции , вектор которой направлен противоположно вектору ускорения. Вектор ускорения в нашем случае направлен противоположно вектору скорости, так как груз движется замедленно. Составляем два уравнения равновесия для груза:
Мощность на тросе в момент начала торможения
Контрольные вопросы.
1. Как определить численное значение и направление скорости точки в данный момент?
2. Что характеризует нормальная и касательная составляющие полного ускорения?
3. Как перейти от выражения угловой скорости в мин -1 к ее выражению рад/с?
4. Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы
5. При каком движении материальной точки возникает сила инерции? Чему равно ее численное значение, как она направлена?
6. Сформулируйте принцип Даламбера
7. Возникает ли сила инерции при равномерном криволинейном движении материальной точки?
8. Что такое вращающий момент?
9. Как выражается зависимость между вращающим моментом и угловой скорости при данной передаваемой мощности?
10. Основное уравнение динамики для вращательного движения.
Практическая работа №7
«Расчет конструкций на прочность»
Цель работы: определять прочность, размеры сечения и допускаемую нагрузку
Теоретическое обоснование.
Зная силовые факторы и геометрические характеристики сечения при деформации растяжение (сжатие), мы можем определить напряжение по формулам. А что бы понять, выдержит ли наша деталь (вал, шестерня и т. д.) внешнюю нагрузку. Необходимо эту величину сравнить с допустимым напряжением.
Итак, уравнение статической прочности
На его основании решают 3 типа задач:
1) проверка прочности
2) определение размеров сечения
3) определение допускаемой нагрузки
Итак, уравнение статической жёсткости
На его основании решают также 3 типа задач
Уравнение статической прочности при растяжении (сжатии)
1) Первый тип - проверка прочности
,
т. е. решаем левую часть и сравниваем с допускаемым напряжением.
2) Второй тип - определение размеров сечения
из правой части площадь поперечного сечения
Сечение круг
отсюда диаметр d
Сечение прямоугольник
Сечение квадрат
A = a² (мм²)
Сечение полукруг
Сечения швеллер, двутавр, уголок и т. д.
Значения площади - из таблицы, принимается по ГОСТ
3) Третий тип - определение допустимой нагрузки;
принимается в меньшую сторону, целое число
ЗАДАНИЕ
Задача
А) Проверка прочности (проверочный расчет)
Для заданного бруса построить эпюру продольных сил и проверить прочность на обоих участках. Для материала бруса (сталь Ст3) принять 
| № варианта | ||||||
| 12,5 | 5,3 | - | - | |||
| 2,3 | - | - | ||||
| 4,2 | - | - |
Б) Подбор сечения (проектный расчет)
Для заданного бруса построить эпюру продольных сил и определить размеры поперечного сечения на обоих участках. Для материала бруса (сталь Ст3) принять
| № варианта | ||
| 1,9 | 2,5 | |
| 2,8 | 1,9 | |
| 3,2 |
В) Определение допускаемой продольной силы
Для заданного бруса определить допускаемые значения нагрузок и ,
построить эпюру продольных сил. Для материала бруса (сталь Ст3) принять . При решении задачи считать, что на обоих участках бруса вид нагружения одинаков.
| № варианта | ||||
| - | - | |||
| - | - | |||
| - | - |
Пример выполнения задания
Задача 1 (рисунок 1).
Проверить прочность колонны, выполненной из двутавровых профилей заданного размера. Для материала колонны (сталь Ст3) принять допускаемые напряжения при растяжении 
и при сжатии . В случае наличия перезагрузки или значительной недогрузки подобрать размеры двутавров, обеспечивающие оптимальную прочность колонны.
Решение.
Заданный брус имеет два участка 1, 2. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. Так как силы, нагружающие брус, расположены по его центральной продольной оси, то в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – продольная сила , т.е. имеет место растяжение (сжатие) бруса.
Для определения продольной силы применяем метод сечений метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, будем отбрасывать нижнюю закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения верхнюю часть. На участке 1 продольная сила постоянна и равна
Знак минус указывает на то, что на обоих участках брус сжат.
Строим эпюру продольных сил . Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, откладываем перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значения . Как видим, эпюра оказалась очерчена прямыми линиями, параллельными базовой.
Выполняем проверку прочности бруса, т.е. определяем расчетное напряжение (для каждого участка в отдельности) и сравниваем его с допускаемым. Для этого используем условие прочности при сжатии
где площадь является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения. Из таблицы прокатной стали берем:
для двутавра
для двутавра
Проверка прочности:
Значения продольных сил взяты по абсолютной величине.
Прочность бруса обеспечена, однако имеет место значительная (более 25%) недогрузка, что недопустимо вследствие перерасхода материала.
Из условия прочности определяем новые размеры двутавра для каждого из участков бруса:
Отсюда требуемая площадь
По таблице ГОСТа выбираем двутавр № 16 , для которого ;
Отсюда требуемая площадь
По таблице ГОСТа выбираем двутавр №24, для которого ;
При выбранных размерах двутавров также имеет место недогрузка, однако незначительная (менее 5%)
Задача №2.
Для бруса с заданными размерами поперечного сечения определить допускаемые значения нагрузок и . Для материала бруса (сталь Ст3) принять допускаемые напряжения при растяжении 
и при сжатии 
.
Решение.
Заданный брус имеет два участка 1, 2. Имеет место растяжение (сжатие) бруса.
Применяя метод сечений, определяем продольную силу , выражая ее через искомые силы и . Проводя в пределах каждого из участков сечение, будем отбрасывать левую часть бруса и оставлять для рассмотрения правую часть. На участке 1 продольная сила постоянна и равна
На участке 2 продольная сила также постоянна и равна
Знак плюс указывает на то, что на обоих участкахбрус растянут.
Строим эпюру продольных сил . Эпюра очерчена прямыми линиями, параллельными базовой.
Из условия прочности при растяжении определяем допускаемые значения нагрузок и предварительно вычислив площади заданных поперечных сечений:
Контрольные вопросы.
1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?
2. Запишите условие прочности при растяжении и сжатии.
3. Как назначают знаки продольной силы и нормального напряжения?
4. Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?
5. Различаются ли условия прочности при расчете на растяжение и расчете на сжатие?
6. В каких единицах измеряется напряжение?
7. Какая из механических характеристик выбирается в качестве предельного напряжения для пластичных и хрупких материалов?
8. В чем разница между предельным и допускаемым напряжением?
Практическая работа №8
«Решение задач по определению главных центральных моментов инерции плоских геометрических фигур»
Цель работы: определить аналитическим путем моменты инерции плоских тел сложной формы
Теоретическое обоснование. Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:
где относительно оси Оx
относительно оси Оy
Статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние ее центра тяжести до этой оси. Статический момент имеет размерность . Статический момент может быть величиной положительной, отрицательной и равен нулю (относительно любой центральной оси).
Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения
Осевой момент инерции выражается в единицах - . Осевой момент инерции- величина всегда положительная и не равна нулю.
Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.
Момент инерции относительно какой-либо оси равен центра
Тема относительно проста для усвоения, однако крайне важна при изучении курса сопротивления материалов. Главное внимание здесь необходимо обратить на решение задач как с плоскими и геометрическими фигурами, так и со стандартными прокатными профилями.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое центр параллельных сил?
Центр параллельных сил есть точка, через которую проходит линия равнодействующей системы параллельных сил, приложенных в заданных точках, при любом изменении направления этих сил в пространстве.
2. Как найти координаты центра параллельных сил?
Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона.
Относительно оси x
M x (R) = ΣM x (F k) , - y C R = Σy kFk и y C = Σy kFk /Σ Fk .
Относительно оси y
M y (R) = ΣM y (F k) , - x C R = Σx kFk и x C = Σx kFk /Σ Fk .
Чтобы определить координату z C , повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда
M z (R) = ΣM z (F k) , - z C R = Σz kFk и z C = Σz kFk /Σ Fk .
Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид
r C = Σr kFk /Σ Fk .
3. Что такое центр тяжести тела?
Центр Тяжести- неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела. Положение центра тяжести твердого тела совпадает с положением его центра масс.
4. Как найти центр тяжести прямоугольника, треугольника, круга?
Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольногопараллелепипеда.
5. Как найти координаты центра тяжести плоского составного сечения?
Метод разбиения: если плоскую фигуру можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всей фигуры опредляются по формулам:
Х C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,
где x k , y k - координаты центров тяжести частей фигуры;
s k - их площади;
S = s k - площадь всей фигуры.
6. Центр тяжести
1. В каком случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату расчетным путем?
В первом случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны
Так как центры фигур лежат на оси ординат (х = 0), то находим только координату Ус .
2 Как учитывается площадь отверстия в фигуре 4 в формуле для определения центра тяжести фигуры?
Метод отрицательных масс
Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.
Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.
иметь представление о центре параллельных сил и его свойствах;
знать формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур;
уметь определять координаты центра тяжести плоских фигур простых геометрических фигур и стандартных прокатных профилей.
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
Изучив кинематику точки, обратите внимание на то, что прямолинейное движение точки как неравномерное, так и равномерное всегда характеризуется наличием нормального (центростремительного) ускорения. При поступательном движении тела (характеризуемом движением любой его точки) применимы все формулы кинематики точки. Формулы для определения угловых величин тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют полную смысловую аналогию с формулами для определения соответствующих линейных величин поступательно движущегося тела.
Тема 1.7. Кинематика точки
При изучении темы обратите внимание на основные понятия кинематики: ускорение, скорость, путь, расстояние.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается относительность понятий покоя и движения?
Механическое движение -это изменение движения тела, или (его частей) в пространстве относительно др. тел с течением времени. Полет брошенного камня, вращение колеса- примеры механического движения.
2. Дайте определение основных понятий кинематики: траектории, расстоянию, пути, скорости, ускорению, времени.
Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве. Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.
Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают). При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.
Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.
Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами - ускорение - это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.
При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.
Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: а ср = Δv/Δt.
Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).
Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:
а = lim а ср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.
Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .
Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени. Единица ускорения - метр, деленный на секунду в квадрате (м/с 2).
Траектория
- линия в пространстве, вдоль которой движется материальная точка.
Путь
- это длина траектории. Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.
Расстояние определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Расстояние является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и от принятого направления оси расстояний оно может быть и положительным, и отрицательным. В отличие от расстояния путь, пройденный точкой, всегда определяется положительным числом. Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается от начала отсчета и совершается по траектории в одном направлении.
В общем случае движения точки путь равен сумме абсолютных значений пройденных точкой расстояний за данный промежуток времени:
3. Какими способами может быть задан закон движения точки?
1.Естественный способ задания движения точки.
При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении. Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:
1) знать траекторию движения;
2) установить начало отсчета на этой кривой;
3) установить положительное направление движения;
4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .
2.Векторный способ задания движения точки
В этом случае положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией. Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.
3.Координатный способ задания движения точки
В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:
4. Как направлен вектор истинной скорости точки при криволинейном движении?
При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).
Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:
vср = Δs/Δt.
Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.
Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:
v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.
Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.
При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.
5. Как направлены касательное и нормальное ускорения точки?
Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0
Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости.
6. Какое движение совершает точка, если касательное ускорение равно нулю, а нормальное не изменяется с течением времени?
Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const ), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const (рис.б),
а нормальное ускорение не равно нулю, так как r - конечная величина.
7. Как выглядят кинематические графики при равномерном и равнопеременном движении?
При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x . Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX . Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроецировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.
При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.
В результате изучения темы студент должен:
иметь представление о пространстве, времени, траектории; средней и истиной скорости;
знать способы задания движения точки; параметры движения точки по заданной траектории.
Лекция 4. Центр тяжести.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Центр тяжести твердого тела.
2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.
3. Координаты центров тяжести однородных тел.
4. Способы определения координат центров тяжести.
5. Центры тяжести некоторых однородных тел.
Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».
Приведение параллельных сил.
После того как было рассмотрено приведение к центру плоской системы и произвольной пространственной системы сил, мы опять возвращаемся к рассмотрению частного случая системы параллельных сил.
Приведение двух параллельных сил.
В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.
1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q , приложенных в точках А и В . Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1,а ).
С , принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию:
АС /СВ = Q /P .(1)
Главный вектор системы R C = P + Q по модулюравен сумме этих сил:R C = P + Q .
С с учетом (1) равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0.
Таким образом, в результате приведения мы получили: R C ≠ 0, M C = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть:
Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом.
Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α . Точка С , обладающая таким свойством называется центром параллельных сил .
2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q , приложенные в точках А и В , параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1,б ).
Выберем в качестве центра приведения точку С , удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ .
Главный вектор этой системыR C = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов:R C = Q - P .
Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0, поэтому
Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешнимобразом.
Рис.1
3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р , а силу Q устремим по модулю к силеР .
Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС /СВ → 1. Это означает, чтоАС → СВ , то есть расстояние АС →∞ .
При этом модуль главного вектора R C → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению:
M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = P ∙ ( АС - СВ ) = P ∙ А B .
Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R C = 0, M C ≠ 0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет .
Центр системыпараллельных сил.
Рассмотрим систему n сил P i , приложенных в точках A i (x i , y i , z i )и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2).
Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R .
Определим координаты центра C (x c , y c , z c ) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующейэтой системы.
Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:
M 0 (R ) = Σ M 0 (P i ).
Рис.2
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:
М 0 (R ) = r c × R = Σ М 0i (P i ) = Σ (r i × P i ).
Учитывая, что R = R v ∙ l , а P i = P vi ∙ l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:
r c × R v ∙ l = Σ (r i × P vi ∙ l ),
r c ∙ R v × l = Σ (r i ∙ P vi × l ) = Σ (r i ∙ P vi ) × l ,
или:
[ r c R v - Σ (r i P vi )] × l = 0.
Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = Σ P i , отсюда получим:
r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).
Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил :
x c = (Σ P i x i )/(Σ P i );
y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)
z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).
Центр тяжести тел.
Координаты центров тяжести однородного тела.
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆ V i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆ P i , направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Рис.3
Определение . Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆ P i к объему ∆ V i : γ i = ∆ P i / ∆ V i . Для однородного тела эта величина является постоянной: γ i = γ = P / V .
Подставляя в (2) ∆ P i = γ i ∙∆ V i вместо P i , учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на g , получим выражения координат центра тяжести однородного тела :
x c = (Σ ∆ V i ∙ x i )/(Σ ∆ V i );
y c = (Σ ∆ V i ∙ y i )/(Σ ∆ V i );(3)
z c = (Σ ∆ V i ∙ z i )/(Σ ∆ V i ).
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами . И координата по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю.
Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
И ещё несколько замечаний.
Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) P i – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.
Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а V i - объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например,
И аналогично, где - объём всего тела.
Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t , лежащей в плоскости Oxy . Подставляя в (3) ∆ V i = t ∙ ∆ F i , получим координаты центра тяжести однородной пластинки :
x c = (Σ ∆ F i ∙ x i ) / (Σ ∆ F i );
y c = (Σ ∆ F i ∙ y i ) / (Σ ∆ F i ).
z c = (Σ ∆ F i ∙ z i ) / (Σ ∆ F i ).
где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.
Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆ V i = a ∙∆ L i , поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:
x c = (Σ ∆ L i ∙ x i )/(Σ ∆ L i );
y c = (Σ ∆ L i ∙ y i )/(Σ ∆ L i );(4)
z c = (Σ ∆ L i ∙ z i )/(Σ ∆ L i ).
где – координаты центра тяжести i -го участка; .
Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
Примечание.
В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.
Координаты центров тяжести неоднородных тел.
Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.4
где - вес единицы объема тела (удельный вес)
-вес всего тела.
неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.5
где - вес единицыплощади тела,
-вес всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.6
где - вес единицыдлины тела,
Вес всего тела.
Способы определения координат центра тяжести.
Исходя из полученных выше общих формул,можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел .
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.7
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.8
S =S 1 +S 2 .
3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки(без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .
Рис.9
S = S 1 - S 2 .
4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).
Рис.10
Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:
где L - длина дуги АВ , равная .
Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном
где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .
Рис.11
Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 иА 3 :
x c = x 1 + (2/3) ∙ (x М 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:
x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .
3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2 α , расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .
Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:
Рис.12
Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ . С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R × d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙ d φ , а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙ cosφ . Подставляя в (5) F = α R 2 , получим:
С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .
Подставляя в (2) α = π /2, получим: x c = (4 R )/(3 π ) ≅ 0,4 R .
Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.
Рис.13
Решение. Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их:
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).
Рис.14
Решение. Координаты центров тяжести:
0.
Площади:
Поэтому:
Пример 3.
У квадратного листа
см вырезано
квадратное отверстие
см (рис.15).
Найдем центр тяжести листа.
Пример 4.
Найти
положение центра тяжести пластинки, представленной на рис. 16. Размеры даны в
сантиметрах.
Рис.16
Решение. Разделим пластинку на фигуры (рис. 17), центры тяжести которых известны.
Площади этих фигур и координаты их центров тяжести:
1) прямоугольник со сторонами 30 и 40 см, S 1 =30 ∙ 40=1200 см 2 ; х 1 =15 см; у 1 =20 см.
2) прямоугольный треугольник с основанием 50 см и высотой 40 см; S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000 см 2 ; х 2 =30+50/3=46,7 см;у 2 = 40/3 =13,3 см;
3) половина круга окружности радиуса r = 20 см; S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 =628 см 2 ; х 3 =4 R /3 π =8,5 см; у
Решение. Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ = ρ g , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.
Рис.19
Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.
Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:
где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.
Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.
Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.
Первая группа состоит из первого стержня,для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.
Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:
x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Вопросы для самопроверки
- Что называется центром параллельных сил?
- Как определяются координаты центра параллельных сил?
- Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?
- Каким свойством обладает центр параллельных сил?
- По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?
- Что называется центром тяжести тела?
- Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
- Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
- Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?
- Что называют статическим моментом площади?
- Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.
- Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
- В чем состоит сущность способа отрицательных весов?
- Где расположен центр тяжести дуги окружности?
- Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
- Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.
- Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.
- По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?
- Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?
- Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?
- Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?
Loading...