Прямоугольный треугольник. Подробная теория с примерами

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.

• Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой (на рисунке обозначена как c или AB)
• Сторона, прилежащая к прямому углу, называется катетом. Каждый прямоугольный треугольник имеет два катета (на рисунке обозначены как a и b или AC и BC)

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

Обозначения формул:

(см. рисунок выше)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

α, β - острые углы треугольника

S - площадь

h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу

m a a из противолежащего угла (α )

m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )

m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .

Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)

Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)

Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.

Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.

Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)

Треугольники.

Основные понятия.

Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Высота треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:

Медиана треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).

Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 где m a - медиана, проведенная к стороне а . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c m c = — 2 где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине

Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .

Две другие стороны называются катетами .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.

Рис.14а

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ).

Признаки равенства треугольников .

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).

Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin x .

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x .

Тангенс острого угла x - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg x .

Котангенс острого угла x - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg x .

Правила:

Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :

b = c · sin x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :

a = c · cos x

Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :

b = a · tg x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :

a = b · ctg x .

Для любого острого угла x :

sin (90° - x ) = cos x

cos (90° - x ) = sin x

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!

А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Видишь, как здорово:

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

И теперь снова углы и совершили обмен:

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:

Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!

А теперь соединим отмеченные точки

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Правильно, .

А площадь меньшего?

Конечно, .

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.

Давай теперь соберем всё вместе.

Преобразуем:

Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

Это очень удобно!

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I. По двум катетам

II. По катету и гипотенузе

III. По гипотенузе и острому углу

IV. По катету и острому углу

a)

b)

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

II. По двум катетам

III. По катету и гипотенузе

Медиана в прямоугольном треугольнике

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

И что из этого следует?

Вот и получилось, что

1. - медиана:

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».

Посмотрим на и.

Но у подобных треугольников все углы равны!

То же самое можно сказать и про и

А теперь нарисуем это вместе:

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Итак, применим подобие: .

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.

Запишем их ещё раз

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• по двум катетам:
• по катету и гипотенузе: или
• по катету и прилежащему острому углу: или
• по катету и противолежащему острому углу: или
• по гипотенузе и остром углу: или.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

• одному острому углу: или
• из пропорциональности двух катетов:
• из пропорциональности катета и гипотенузы: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
• Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Высота прямоугольного треугольника: или.

В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .

Площадь прямоугольного треугольника:

• через катеты:

Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла(на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника.

Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).

Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Формула 1.

Формула 2. , где гипотенуза; , катеты.

Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности.

Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

44. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Класс. Программа коллоквиума основы планиметрии

Свойство смежных углов.. определение два угла смежные если одна сторона у них общая в две другие образуют прямую линию..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

(АВС) и его свойства, который представлен на рисунке. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу — сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Совет 1: Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. На рисунке стороны AD, DC и BD, DC — катеты, а стороны АС и СВ — гипотенузы.

Теорема 1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противоположный этому углу рванется половине гипотенузы.

hC

АВ — гипотенуза;

AD и DВ

Треугольник
Существует теорема:
система комментирования CACKL E

Решение: 1) Диагонали любого прямоугольника равны.Верно 2) Если в треугольнике один острый угол, то этот треугольник остроугольный. Не верно. Виды треугольников. Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90° 3) Если точка лежит на.

Или, в другой записи,

По теореме Пифагора

Чему равна высота в прямоугольном треугольнике формула

Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

Или, в другой записи,

Где BK и KC проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы через с, формулу можно переписать в виде

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

Из прямоугольного треугольника ACK

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

По теореме Пифагора

Если возвести в квадрат обе части равенства:

Можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

Чему равна высота в прямоугольном треугольнике формула

Прямоугольный треугольник. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!

А теперь соединим отмеченные точки

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.

Давай теперь соберем всё вместе.

Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

Заметил ли ты одну очень удобную вещь? Посмотри на табличку внимательно.

Это очень удобно!

Признаки равенства прямоугольных треугольников

II. По катету и гипотенузе

III. По гипотенузе и острому углу

IV. По катету и острому углу

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы В обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

III. По катету и гипотенузе

Медиана в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Проведём диагональ и рассмотрим точку точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

Точкой пересечения диагонали делятся пополам Диагонали равны

И что из этого следует?

Вот и получилось, что

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

Вот давай мы начнём с этого «кроме того. ».

Но у подобных треугольников все углы равны!

То же самое можно сказать и про и

А теперь нарисуем это вместе:

У и одинаковые острые углы!

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например - Две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем Первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников и.

Итак, применим подобие: .

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Комментарии

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях. Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений. Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.

Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу

Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях. В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Свойства прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник (АВС) и его свойства, который представлен на рисунке. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу — сторону, которая лежит напротив прямого угла. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. На рисунке стороны AD, DC и BD, DC — катеты, а стороны АС и СВ — гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольного треугольника:

Теорема 1. Если гипотенуза и катет прямоугольного треугольника сходны с гипотенузой и катетом другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2. Если два катета прямоугольного треугольника равняются двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3. Если гипотенуза и острый угол прямоугольного треугольника сходны гипотенузой и острым углом другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 4. Если катет и прилегающий (противоположный) острый угол прямоугольного треугольника равны катету и прилегающему (противоположному) острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойства катета, противолежащего углу в 30°:

Теорема 1.

Высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противоположный этому углу рванется половине гипотенузы.

Теорема 2. Если в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то противоположный ему угол составляет 30°.

Если высота проведена с вершины прямого угла к гипотенузе, то такой треугольник делится на два меньших, подобных до исходящего и аналогичные один к другому. Из этого следуют такие выводы:

1. Высота является средним геометрическим (средним пропорциональным) двух сегментов гипотенузы.
2. Каждый катет треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и смежных сегментов.

В прямоугольном треугольнике в роли высот выступают катеты. Ортоцентр - это такая точка, на которой происходит пересечение высот треугольника. Она совпадает с вершиной прямого угла фигуры.

hC — высота выходящая из прямого угла треугольника;

АВ — гипотенуза;

AD и DВ — отрезки, возникшие при делении гипотенузы высотой.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине "Геометрия"

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин), которые не находятся на одной и той же прямой линии и трех отрезков соединяющих эти точки. Прямоугольным треугольником называется треугольник, имеющий один из углов в 90° (прямой угол).
Существует теорема: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
система комментирования CACKL E

Ключевые слова: треугольник, прямоугольный, катет, гипотенуза, теорема Пифагора, окружность

Треугольник называют прямоугольным , если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами ; третья его сторона называется гипотенузой.

• По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из вершины С его прямого угла.

Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.

Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.

Из подобия треугольников определяются соотношения:

• $$h = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}} = \frac{a \cdot b}{c}$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt{a_{c} \cdot c}, b = \sqrt{b_{c} \cdot c}$$;
• $$(\frac{a}{b})^{2}= \frac{a_{c}}{b_{c}}$$.

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a2 + b2 = c2

Обратная теорема Пифагора.

Высота прямоугольного треугольника

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a2 + b2 = c2,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• по катету и гипотенузе;
• по двум катетам;
• по катету и острому углу;
• по гипотенузе и острому углу.

См. также:
Площадь треугольника, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник

Геометрия. 8 класс. Тест 4. Вариант 1 .

AD : CD = CD : BD. Отсюда CD2 = AD ∙ BD. Говорят:

AD : AC = AC : AB. Отсюда AC2 = AB ∙ AD. Говорят:

BD : BC = BC : AB. Отсюда BC2 = AB ∙ BD.

Решите задачи:

1.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36.

Определить длину этой высоты.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Катет прямоугольного треугольника равен 30.

Как найти высоту в прямоугольном треугольнике?

Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Сверить ответы!

Г8.04.1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия. 8 класс. Тест 4. Вариант 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90°. АС и ВС катеты, АВ гипотенуза.

CD высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

AD проекция катета АС на гипотенузу,

BD проекция катета ВС на гипотенузу.

Высота CD делит треугольник АВС на два подобных ему (и друг другу) треугольника: Δ ADC и Δ CDB.

Из пропорциональности сторон подобных Δ ADC и Δ CDB следует:

AD : CD = CD : BD.

Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.

Отсюда CD2 = AD ∙ BD. Говорят: высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.

Из подобия Δ ADC и Δ АCB следует:

AD : AC = AC : AB. Отсюда AC2 = AB ∙ AD. Говорят: каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.

Аналогично, из подобия Δ СDВ и Δ АCB следует:

BD : BC = BC : AB. Отсюда BC2 = AB ∙ BD.

Решите задачи:

1. Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. Определить длину этой высоты.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. Найти проекцию другого катета.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. Найти гипотенузу.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Гипотенуза равна 32. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.

8. Катет прямоугольного треугольника равен 30. Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. Найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. Найти радиус описанной окружности.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.