Теоретические материалы и формулы см. в главе "Правильная пирамида ".
Задача
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.Решение .
Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:
- Высота пирамиды проецируется на центр основания
- Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
- Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
- Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
V = 1/3 Sh
Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:
- Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
- Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам (сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусов равен 1/2
- синус 60 градусов равен корню из трех пополам
- синус 90 градусов равен 1
4 / sin(90) = h / sin (60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
откуда
r = 2
h = 2√3
В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле:
S правильного треугольника = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3 .
Теперь найдем объем пирамиды:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см 3 .
Ответ : 24 см 3 .
Задача
Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды.Решение .
Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.
Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:
7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25
Ответ : 25 см
Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.
Рассмотрим плоскость , многоугольник 
, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами.
Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр
. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Комментарий репетитора
:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.
Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным
, а второй реберным
. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.
Формула объема пирамиды
:
1) 
, где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) 
, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.
Свойство основания высоты пирамиды:
Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням
Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.
Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте
Пирамида - это пространственный полиэдр, или многогранник, который встречается в геометрических задачах. Основными свойствами этой фигуры являются ее объем и площадь поверхности, которые вычисляются из знания любых двух ее линейных характеристик. Одной из таких характеристик является апофема пирамиды. О ней пойдет речь в статье.
Фигура пирамида
Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.
Всякая пирамида имеет вершину - точку соединения всех треугольников. Перпендикуляр, проведенный из этой вершины к основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре основание, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая равностороннее основание, называется правильной. На рисунке показана пирамида с шестиугольным основанием, на которую смотрят со стороны грани и ребра.
Апофема правильной пирамиды
Ее также называют апотемой. Под ней понимают перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к стороне основания фигуры. По своему определению этот перпендикуляр соответствует высоте треугольника, который образует боковую грань пирамиды.
Поскольку мы рассматриваем пирамиду правильную с n-угольным основанием, то все n апофем для нее будут одинаковыми, поскольку таковыми являются равнобедренные треугольники боковой поверхности фигуры. Заметим, что одинаковые апофемы являются свойством правильной пирамиды. Для фигуры общего типа (наклонной с неправильным n-угольником) все n апофем будут разными.
Еще одним свойством апофемы пирамиды правильной является то, что она одновременно является высотой, медианой и биссектрисой соответствующего треугольника. Это означает, что она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.
и формулы для определения ее апофемы
В любой правильной пирамиде важными линейными характеристиками являются длина стороны ее основания, ребро боковое b, высота h и апофема h b . Эти величины друг с другом связаны соответствующими формулами, которые можно получить, если начертить пирамиду и рассмотреть необходимые прямоугольные треугольники.
Правильная треугольная пирамида состоит из 4 треугольных граней, причем одна из них (основание) должна быть обязательно равносторонней. Остальные являются равнобедренными в общем случае. Апофему треугольной пирамиды можно определить через другие величины по следующим формулам:
h b = √(b 2 - a 2 /4);
h b = √(a 2 /12 + h 2)
Первое из этих выражений справедливо для пирамиды с любым правильным основанием. Второе выражение характерно исключительно для треугольной пирамиды. Оно показывает, что апофема всегда больше высоты фигуры.
Не следует путать апофему пирамиды с таковой для многогранника. В последнем случае апофемой называется перпендикулярный отрезок, проведенный к стороне многогранника из его центра. Например, апофема равностороннего треугольника равна √3/6*a.
Задача на вычисление апофемы
Пусть дана правильная пирамида с треугольником в основании. Необходимо вычислить ее апофему, если известно, что площадь этого треугольника равна 34 см 2 , а сама пирамида состоит из 4 одинаковых граней.
В соответствии с условием задачи мы имеем дело с тетраэдром, состоящим из равносторонних треугольников. Формула для площади одной грани имеет вид:
Откуда получаем длину стороны a:
Для определения апофемы h b воспользуемся формулой, содержащей боковое ребро b. В рассматриваемом случае его длина равна длине основания, имеем:
h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a
Подставляя значение a через S, получим конечную формулу:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Мы получили простую формулу, в которой апофема пирамиды зависит только от площади ее основания. Если подставить значение S из условия задачи, то получим ответ: h b ≈ 7,674 см.
Для успешного решения задач по геометрии необходимо четко понимать термины, которые использует эта наука. Например, таковыми являются «прямая», «плоскость», «многогранник», «пирамида» и многие другие. В данной статье ответим на вопрос, что такое апофема.
Двоякое использование термина «апофема»
В геометрии значение слова «апофема» или «апотема», как ее еще называют, зависит от того, к какому объекту ее применяют. Существует два принципиально разных класса фигур, в которых она является одной из их характеристик.
В первую очередь это плоские многоугольники. Что такое апофема для многоугольника? Это высота, проведенная из геометрического центра фигуры к любой из ее сторон.
Чтобы было понятнее, о чем идет речь, рассмотрим конкретный пример. Предположим, что имеется правильный шестиугольник, показанный ниже на рисунке.
Символом l обозначена длина его стороны, буквой a — апофема. Для отмеченного треугольника она является не только высотой, но и биссектрисой, и медианой. Несложно показать, что через сторону l ее можно вычислить так:
Аналогичным образом апофема определяется для любого n-угольника.
Во вторую очередь — это пирамиды. Что такое апофема для такой фигуры? Этот вопрос требует более детального рассмотрения.
По теме: Как сделать свои ресницы длинными и густыми всего за один месяц?
Пирамиды и их апофемы
Для начала дадим определение пирамиде с точки зрения геометрии. Эта фигура представляет собой объемное тело, образованное одним n-угольником (основание) и n треугольниками (боковые стороны). Последние соединены в одной точке, которая называется вершиной. Расстояние от нее до основания — это высота фигуры. Если она попадает на геометрический центр n-угольника, то пирамида называется прямой. Если к тому же n-угольник имеет равные углы и стороны, то фигура называется правильной. Ниже показан пример пирамиды.
Что такое апофема для такой фигуры? Это перпендикуляр, который соединяет стороны n-угольника с вершиной фигуры. Очевидно, что она представляет собой высоту треугольника, являющегося боковой стороной пирамиды.
Апофему удобно использовать при решении геометрических задач с правильными пирамидами. Дело в том, что для них все боковые грани являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. Последний факт означает, что все n апофем равны, поэтому для правильной пирамиды можно говорить об одной-единственной такой прямой.
Апофема четырехугольной пирамиды правильной
Пожалуй, самым наглядным примером этой фигуры будет знаменитое первое чудо света — пирамида Хеопса. Она находится в Египте.
Для любой такой фигуры с правильным n-угольным основанием можно привести формулы, позволяющие определить ее апофему через длину a стороны многоугольника, через боковое ребро b и высоту h. Здесь запишем соответствующие формулы для прямой пирамиды с квадратным основанием. Апофема h b для нее будет равна:
По теме: Флаг Башкирии - описание, символизм и история
h b = √(b 2 — a 2 /4);
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Первое из этих выражений справедливо для любой правильной пирамиды, второе — только для четырехугольной.
Покажем, как эти формулы можно использовать для решения задачи.
Геометрическая задача
Пусть задана прямая пирамида, имеющая квадратное основание. Необходимо рассчитать ее основания площадь. Апофема пирамиды равна 16 см, а ее высота в 2 раза больше стороны основания.
Каждый школьник знает: чтобы найти площадь квадрата, которым является основание рассматриваемой пирамиды, следует знать его сторону a. Для ее нахождения воспользуемся следующей формулой для апофемы:
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Значение апофемы известно из условия задачи. Поскольку высота h в два раза больше длины стороны a, это выражение можно преобразовать следующим образом:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
Площадь квадрата равна произведению его сторон. Подставляя полученное выражение для a, имеем:
S = a 2 = 4/17*h b 2
Остается подставить в формулу значение апофемы из условия задачи и записать ответ: S ≈ 60,2 см 2 .
Читайте также:
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
- боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
- боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
- вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
- высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
- основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Свойства пирамиды.
1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
- кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.
2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- высоты боковых граней имеют равную длину;
- площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.
3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.
4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
Простейшая пирамида.
По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.
Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.
Loading...