Формула Томсона выглядит следующим образом :
См. также
Напишите отзыв о статье "Формула Томсона"
Примечания
Отрывок, характеризующий Формула Томсона
– Да, да, знаю. Пойдем, пойдем… – сказал Пьер и вошел в дом. Высокий плешивый старый человек в халате, с красным носом, в калошах на босу ногу, стоял в передней; увидав Пьера, он сердито пробормотал что то и ушел в коридор.– Большого ума были, а теперь, как изволите видеть, ослабели, – сказал Герасим. – В кабинет угодно? – Пьер кивнул головой. – Кабинет как был запечатан, так и остался. Софья Даниловна приказывали, ежели от вас придут, то отпустить книги.
Пьер вошел в тот самый мрачный кабинет, в который он еще при жизни благодетеля входил с таким трепетом. Кабинет этот, теперь запыленный и нетронутый со времени кончины Иосифа Алексеевича, был еще мрачнее.
Герасим открыл один ставень и на цыпочках вышел из комнаты. Пьер обошел кабинет, подошел к шкафу, в котором лежали рукописи, и достал одну из важнейших когда то святынь ордена. Это были подлинные шотландские акты с примечаниями и объяснениями благодетеля. Он сел за письменный запыленный стол и положил перед собой рукописи, раскрывал, закрывал их и, наконец, отодвинув их от себя, облокотившись головой на руки, задумался.
- Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.
- Свободными называются такие колебания , которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.
При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .
- Идеальный колебательный контур (LC-контур ) - электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .
В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.
На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.
Энергии контура
Полная энергия колебательного контура
\(W=W_{e} + W_{m}, \; \; \; W_{e} =\dfrac{C\cdot u^{2} }{2} = \dfrac{q^{2} }{2C}, \; \; \; W_{m} =\dfrac{L\cdot i^{2}}{2},\)
Где W e - энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С - электроемкость конденсатора, u - значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q - значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m - энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L - индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.
Процессы в колебательном контуре
Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.
Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.
После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.
Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).
Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.
И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см. рис. 2, положение 7 ). И так далее.
Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u ) определяет его энергию электрического поля W e \(\left(W_{e}=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{C \cdot u^{2}}{2} \right),\) а сила тока в катушке i - энергию магнитного поля Wm \(\left(W_{m}=\dfrac{L \cdot i^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{e\, \max } =\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot U_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 2} =\dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 4} =\dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 6} =\dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{6}^{2} }{2},\)
\(W_{m\; \max } =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m2} =\dfrac{L\cdot i_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m4} =\dfrac{L\cdot i_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m6} =\dfrac{L\cdot i_{6}^{2} }{2}.\)
Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда
\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = ...\)
Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .
- Свободные электромагнитные колебания в контуре - это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.
Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:
\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)
Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.
Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:
\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)
Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному - с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.
*Вывод формулы Томсона
Поскольку полная энергия идеального LC -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство
\(W=\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} ={\rm const}.\)
Получим уравнение колебаний в LC -контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)
получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:
\(\left(\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} \right)^{{"} } =\dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)
\(\dfrac{q}{C} +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac{1}{L\cdot C} \cdot q=0.\)
Переписав его в виде:
\(q""+\omega ^{2} \cdot q=0,\)
замечаем, что это - уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)
Соответственно период рассматриваемых колебаний
\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)
Литература
- Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 39-43.
Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).
Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией
где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.
После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора
(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции
| Рис.1 | Рис.2 |
Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна
Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.
Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.
| Рис.3 | Рис.4 |
Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.
В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:
1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;
2) потери в диэлектрике конденсатора;
3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;
4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.
Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.
В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:
где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как
Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона
Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид
На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.
В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.
| Рис.5 | Рис.6 |
Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.
«Затухающие колебания» - 26.1. Свободные затухающие механические колебания; 26.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания; 26.26. Автоколебания; Сегодня: суббота, 6 августа 2011 г. Лекция 26. Рис. 26.1.
«Гармонические колебания» - Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Рисунок 4. Колебания вида. (2.2.4). ?1 – фаза 1-го колебания. - Результирующее колебание, тоже гармоническое, с частотой?: Проекция кругового движения на ось у, также совершает гармоническое колебание. Рисунок 3.
«Частота колебаний» - Отражение звука. Скорость звука в различных средах, м/с (при t = 20°C). Механические колебания с частотой менее 20Гц называются инфразвуком. Разобрать звук как явление. Цели проекта. Источники звука. Скорость звука зависит от свойств среды, в которой распространяется звук. Чем определяется тембр звука?
«Механические колебания и волны» - Свойства волн. Виды волн. Математический маятник. Период свободных колебаний математического маятника. Превращение энергии. Законы отражения. Пружинный маятник. Наибольшей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с частотами от 700 до 6000 Гц. Свободные Вынужденные Автоколебания.
«Механические колебания» - Гармонические. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Математический маятник. Волны. Длина волны (?) – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Вынужденные. Вынужденные колебания. График математического маятника. Волны - распространение колебаний в пространстве с течением времени.
«Механический резонанс» - Амплитуда вынужденных колебаний. Государственное общеобразовательное учреждение Гимназия № 363 Фрунзенского района. Разрушительная роль резонанса Мосты. Резонанс в технике. Томас Юнг. 1. Физические основы резонанса Вынужденные колебания. Механический язычковый частотомер - прибор для измерения частоты колебаний.
Всего в теме 10 презентаций
Если плоская монохроматическая электромагнитная волна падает на свободную частицу с зарядом и массой , то частица испытывает ускорение и, следовательно, излучает. Направление излучения не совпадает с направлением падающей волны, частота же его при нерелятивистском движении совпадает с частотой падающего поля. В целом этот эффект можно рассматривать как рассеяние падающего излучения.
Мгновенное значение мощности излучения для частицы с зарядом при нерелятивистском движении определяется формулой Лармора (14.21):
где - угол между направлением наблюдения и ускорением. Ускорение обусловлено действием падающей плоской электромагнитной волны. Обозначая волновой вектор через к, а вектор поляризации -
через , запишем электрическое поле волны в виде
Согласно нерелятивистскому уравнению движения, ускорение равно
(14.99)
Если предположить, что смещение заряда за период колебания много меньше длины волны, то средний по времени квадрат ускорения будет равен При этом средняя мощность, излучаемая в единицу телесного угла, равна
Так как описываемое явление проще всего рассматривать как рассеяние, удобно ввести эффективное дифференциальное сечение рассеяния, определив его следующим образом:
Поток энергии падающей волны определяется средним по времени значением вектора Пойнтинга для плоской волны, т. е. равен . Таким образом, согласно (14.100), для дифференциального эффективного сечения, рассеяния получаем
Если падающая волна распространяется в направлении оси , а вектор поляризации составляет угол с осью как показано на фиг. 14.12, то угловое распределение определяется множителем
Для неполяризованного падающего излучения дифференциальное сучение рассеяния получается усреднением по углу , что приводит к соотношению
Это - так называемая формула Томсона для рассеяния падающего излучения на свободном заряде. Она описывает рассеяние рентгеновских лучей на электронах или у-лучей на протонах. Угловое
распределение излучения изображено на фиг. 14.13 (сплошная кривая). Для полного эффективного сечения рассеяния, так называемого томсоновского сечения рассеяния, получаем
Для электронов . Величина см, имеющая размерность длины, называется обычно классическим радиусом электрона, так как однородное распределение заряда, равного заряду электрона, должно иметь радиус такого порядка, чтобы собственная электростатическая энергия была равна массе покоя электрона (см. гл. 17).
Классический результат Томсона справедлив лишь на низких частотах. Если частота со становится сравнимой с величиной , т. е. если энергия фотона сравнима или превышает энергию покоя, то начинают существенно сказываться квантовомеханические эффекты. Возможна и другая интерпретация указанного критерия: можно ожидать появления квантовых эффектов, когда длина волны излучения становится сравнимой или меньше комптоновской длины волны частицы На высоких частотах угловое распределение излучения более сконцентрировано в направлении падающей волны, как показано пунктирными кривыми на фиг. 14.13; при этом, однако, сечение излучения для нулевого угла всегда совпадает с определенным по формуле Томсона.
Полное сечение рассеяния оказывается меньше томсоновского сечения рассеяния (14.105). Это так называемое комптоновское рассеяние. Для электронов оно описывается формулой Клейна - Нишины. Здесь мы приведем для справок асимптотические выражения
полного сечения рассеяния, определяемого по формуле Клейна - Нишины.
Loading...